Введение 3
Постановка задачи и формулировка результатов 3
Формальное построение асимптотик. 5
Обоснование асимптотик. 17
Литература 22
Рассмотрена модельная краевая задача для лапласиана в единичном круге с
часто и периодически чередующимся типом граничных условий в случае, когда
предельной является задача Дирихле.
Постановка задачи и формулировка результатов. Краевые эллиптиче-
ские задачи с часто чередующимся типом граничных условий возникают в раз-
личных приложениях, например, при исследовании собственных значений часто
закрепленной мембраны, в задачах нефтехимии и в других областях. В настоящей
работе рассматривается краевая задача для оператора Лапласа в круге с часто и
периодически чередующимся типом граничных условий.
Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты, " = 2N−1 - малый параметр, N ≫ 1
целое число, D - единичный круг с центром в начале координат, (r, ) - полярные
координаты. Через
" обозначим объединение N открытых непересекающихся ле-
жащих на @D дуг, длиной 2" каждая (0 < < /2), расположенных так, что
любая из этих дуг получается из соседней поворотом на " относительно начала
координат(см. рис.). Определим " как дополнение
" до @D. Под часто и периоди-
чески чередующимся типом граничных условий мы будем понимать случай, когда
на
" задается граничное условие Дирихле, а на " - граничное условие Неймана
[1].
Здесь < 0 - некоторое фиксированное число, f ∈ C∞
0 (¯D) - заданная функция.
В этой работе на основе метода пограничного слоя будет построена асимптоти-
ка. Базовой идеей данного построения является использование пограничного слоя
в окрестности границы @D с целью удовлетворения граничных условий задачи
(1).
Теорема 1. Асимптотическое разложение решения задачи (1) имеет вид:
u" = uex
" (x, ) + (r)umid
" (, , ),
где (r) бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице
при r > 2
3 и нулю при r < 1
3,
uex(x) = u0(x) + "u1(x) + "2u2(x) + "3u3(x) + .
и
umid() = " 1() + "2 2() + "3 3() + .,
где = (1, 2) =
Функции 1(), 2(), 3() найдены как решения некоторых краевых задач.
Обоснование асимптотик. В соответствии с методом пограничного слоя
асимптотику функции u" будем строить в виде суммы внешнего разложения и
пограничного слоя:
u" = uex
" (x, ) + (r)umid
" (, , ), (48)
где функции uex
" и umid
" имеют асимптотики
uex
" (x, ) = u0(x) +
NX−1
i=1
"iui(x, ), (49)
umid
" (, , ) =
XN
i=1
"i i(, , ). (50)
Подставим (48) в уравнение задачи (1) получим уравнение
−(x + )u" = −(x + )uex
" (x, ) − (x + ) (r)umid
" (, , ) (51)
В силу уравнений задач (4) и (5) первое слагаемое (51) будет равно
−(x + )uex
" (x, ) = f (52)
Перепишем второе слагаемое (51):
1. Д.И. Борисов. Двупараметрические асимптотики собственных чисел Ла-
пласиана с частым чередованием граничных условий. Прикладная матема-
тика и механика, 2002. C. 36-52.
2. Р.Р. Гадыльшин. Об асимптотике собственных значений для периодически
закрепленной мембраны. Алгебра и анализ Том 10, (1998), вып. 1.
Дипломная работа:
Методика изучения асимптотики резольвенты лапласиана с частой сменой граничных условий
Дипломная работа:
Методика изучения числовых систем в общеобразовательной школе
Дипломная работа:
Методика изучения отдельных вопросов алгебры и начал анализа
Дипломная работа:
Методика изучения необходимых и достаточных условий в математике
Магистерская работа:
Сравнительное изучение версий башкирского и казахского эпосов «кузыкурпяс и маянхылу» / «козы- корпеш и баян-сулу», методика изучения их в школе
