Введение 3
Постановка задачи и формулировка результатов 3
Формальное построение асимптотик. 5
Обоснование асимптотик. 17
Литература 22
Рассмотрена модельная краевая задача для лапласиана в единичном круге с
часто и периодически чередующимся типом граничных условий в случае, когда
предельной является задача Дирихле.
Постановка задачи и формулировка результатов. Краевые эллиптиче-
ские задачи с часто чередующимся типом граничных условий возникают в раз-
личных приложениях, например, при исследовании собственных значений часто
закрепленной мембраны, в задачах нефтехимии и в других областях. В настоящей
работе рассматривается краевая задача для оператора Лапласа в круге с часто и
периодически чередующимся типом граничных условий.
Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты, " = 2N−1 - малый параметр, N ≫ 1
целое число, D - единичный круг с центром в начале координат, (r, ) - полярные
координаты. Через
" обозначим объединение N открытых непересекающихся ле-
жащих на @D дуг, длиной 2" каждая (0 < < /2), расположенных так, что
любая из этих дуг получается из соседней поворотом на " относительно начала
координат(см. рис.). Определим " как дополнение
" до @D. Под часто и периоди-
чески чередующимся типом граничных условий мы будем понимать случай, когда
на
" задается граничное условие Дирихле, а на " - граничное условие Неймана
[1].
Предполагаем, что (") является функцией от ", такой что (") → 0 при " → 0 и
lim
"→0
" ln = 0.
Нашей целью является построение асимптотики решения при " → 0 следующей
задачи:
3
Здесь < 0 - некоторое фиксированное число, f ∈ C∞
0 (¯D) - заданная функция.
В этой работе на основе метода пограничного слоя будет построена асимптоти-
ка. Базовой идеей данного построения является использование пограничного слоя
в окрестности границы @D с целью удовлетворения граничных условий задачи
(1).
Теорема 1. Асимптотическое разложение решения задачи (1) имеет вид:
u" = uex
" (x, ) + (r)umid
" (, , ),
где (r) бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице
при r > 2
3 и нулю при r < 1
3,
Лемма 1. Пусть F ∈ 0, - решение задачи
Тогда ∈ 1 если и только если
Z
Y Fd = (A + B ln sin ). (19)
Рассмотрим задачу (14). Так как F0 = 0 и B0 = 0, то подставляя эти значения в
формулу (19), получим 0 |2=0= 0. Следовательно задача (14) имеет единственное
решение 0 = 0 поэтому члена 0 не должно быть в разложении (17).
Равенство 0 |2=0= 0 в силу задачи (14) влечет краевое условие
u0 = 0, x ∈ @D. (20)
Выпишем задачу для j = 1 учитывая, что 0 = 0 :
1 = 0, 2 > 0,
1 |2=0= −u1 |r=1,
@ 1
@2
2
=
0 =
@u0
@r
r=1
.
(21)
Применим лемму для (21), получим:
r=1
ln sin . (22)
C учетом гармоничности функции X(, ) и граничных условий (17) заключаем,
что решение задачи (21) имеет вид
1 = −
@u0
@r
r=1
X(, ). (23)
1. Д.И. Борисов. Двупараметрические асимптотики собственных чисел Ла-
пласиана с частым чередованием граничных условий. Прикладная матема-
тика и механика, 2002. C. 36-52.
2. Р.Р. Гадыльшин. Об асимптотике собственных значений для периодически
закрепленной мембраны. Алгебра и анализ Том 10, (1998), вып. 1.
Форматы: *.pdf, *.tex * 1.eps
К работе прилагается презентация
Дипломная работа:
Методика изучения числовых систем в общеобразовательной школе
Дипломная работа:
Методика изучения отдельных вопросов алгебры и начал анализа
Дипломная работа:
Методика изучения необходимых и достаточных условий в математике
Магистерская работа:
Сравнительное изучение версий башкирского и казахского эпосов «кузыкурпяс и маянхылу» / «козы- корпеш и баян-сулу», методика изучения их в школе
