Методика изучения движения и подобия плоскости - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 3

Глава 1. ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ 4

1.1. Движения 4

1.2. Свойства движений. 4

1.3. Аналитическое выражение движения 8

1.4. Классификация движений 10

1.4.1. Параллельный перенос 10

1.4.2. Аналитическое выражение параллельного переноса 12

1.4.3. Поворот 13

1.4.4. Аналитическое выражение поворота. (каноническое) 14

1.4.5. Осевая симметрия (Отражение) 16

1.4.6. Аналитическое выражение осевой симметрии 16

Глава 2. ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ 18

2.1. Гомотетия 18

2.2. Аналитическое выражение гомотетии 19

2.3. Свойства гомотетии 19

2.4. Подобные преобразования 22

2.5. Аналитическое выражение подобного преобразования 25

Глава 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 26

3.1. Задачи по теме: «Движения» 26

3.2. Задачи по теме: «Подобия» 37

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 47

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 48

Введение (выдержка)

В геометрии применяются различные методы решения задач – это синтетический (чисто геометрический) метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод преобразований (в частности, движения плоскости) потому, что он тесно связан с алгеброй, физикой, химией, биологией, техникой и т. д. Это сближает математику с данными областями наук. Методы геометрических преобразований позволяют решать большой класс задач элементарной геометрии: задачи на доказательство, построение, вычисление, нахождение геометрических мест точек.

Данная выпускная квалификационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы

В первой главе описаны теоретические основы темы "Движения плоскости", а именно, понятие движения плоскости, свойства движений, также виды движений, формулы движений

Во второй главе описаны теоретические основы темы "подобия плоскости", а именно, понятие подобия плоскости, свойства подобия, виды подобий, формулы подобий

В третьей главе представлены задачи на движения и подобия. Задачи представлены по темам движение, параллельный перенос, поворот, гомотетия, подобие. Есть задачи на применение формул преобразования движения или подобия, и задачи на применение данных методов преобразования при решении задач по планиметрии.

Основная часть (выдержка)

Глава 1. ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

1.1. Движения

Определение. Движением называется преобразование плоскости, при котором сохраняется длина любого отрезка, т.е. если даны две точки и

Очевидно, преобразование обратное к движению так же является движением.

1.2. Свойства движений.

1. При движении сохраняется коллинеарность точек, т.е. .

Доказательство

Пусть 3 точки A, B, C лежат на одной прямой

(2)

Но из трех точек одной прямой в силу II группы аксиом расположения или порядка всегда одна лежит между двумя другими. Пусть точка C лежит между A и B, тогда , но

, , (3)

Подставляя в (3) получим

(4)

То есть точка C’ лежит между точками А’ и B’. Отсюда следует, что точки A’, B’, C’ лежат на одной прямой.

2. При движении прямая переходит в прямую.

Доказательство

На прямой возьмем две точки и . Они перейдут в точки , . Все точки прямой , как коллинеарные с , перейдут в точки, коллинеарные с , , то есть принадлежат прямой . Поскольку при обратном движении все точки принадлежащие перейдут в точки прямой , образы прямой заполнят .

3. Отрезок при движении переходит в равный ему отрезок, вектор – переходит в вектор.

Доказательство

Если точка лежим между точками и , то из (4) следует, что лежит между , , то есть все точки, лежащие между точками и , перейдут в точки, лежащие между и , и всякая точка лежащая между , будет образом точки , лежащей между и , то есть отрезок переходит при движении в отрезок; также направленный отрезок переходит в направленный отрезок, а потому вектор – в вектор.

4. При движении сохраняется величина угла и скалярное произведение векторов.

Доказательство

Рассмотрим угол , при движении точки перейдут соответственно в такие, что

, , (5)

Тогда треугольники и конгруэнтны по трем сторонам и (6)

Скалярное произведение сохраняется, так как оно выражается через длины и косинус угла

5. При движении прямоугольная декартова система координат переходит в прямоугольную декартову систему координат и сохраняются координаты соответствующих точек относительно этих систем координат.

Доказательство

Действительно, прямоугольный репер переходит в такой же, так как при движении сохраняются длины, углы.

Пусть точки и имеют координаты в старом репере и точки и имеют координаты в новом репере . Тогда и

Рассмотрим скалярные произведения векторов и

По предыдущему свойству скалярные произведения векторов сохраняются, следовательно:

Из этого равенства следует что координаты соответствующих точек сохраняются

Заключение (выдержка)

Цель данной выпускной квалификационной работы состояла в изучении движений и подобий плоскости

Для реализации цели мы исследовали теоретическую основу темы "Движения и подобия плоскости", в которой отразили такие теоретические вопросы как, понятие движения и его виды, движение I рода и II рода, аналитическое выражение движения, а также классификацию движений плоскости, понятие подобия, виды преобразования подобия, аналитическое выражения подобия.

Литература

1. Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии М., Наука 1968г.

2. Базылев В.Т. Дуничев К.И. Сборник задач по геометрии М., Просвещение 1980г.

3. Атанасян Л.С. Базылев В.Т. Геометрия в двух частях часть 1 М. Кнорус 2011

4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии Часть 2 Наука 1991

5. Яглом И.М. Геометрические преобразования М., 1955