Методика исследования параболического уравнения второго порядка - Дипломная работа

Введение 3

1. Вспомогательные утверждения 6

2. Доказательство теоремы 1 14

3. Оценки характеристик N (r) и p∗ 20

Список литературы 22

Пусть Ω - произвольная неограниченная область пространства Rn, n ;;: 2, x = (x1, x2, ., xn) ∈ Rn. В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω рассмотрим линейное параболическое уравнение второго порядка:

Ut =

n

∑(aij (t, x)Ux )x . (1)

i j

i,j=1

Коэффициенты уравнения aij (t, x) - измеримые функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные γ, Γ такие, что для любого вектора y = (y1, ., y2) ∈ Rn и почти для всех (t, x) ∈ D справедливы неравенства:

γ|y|2 ≤

n

∑ aij (t, x)yiyj ≤ Γ|y|2. (2)

i,j=1

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (14) с начально-краевыми условиями:

U (t, x) |{t>0}×∂Ω= 0; (3)

U (0, x) = φ(x). (4)

Дипломная работа посвящена изучению зависимости скорости убывания L2- нормы решения задачи (1)- (4) от геометрических характеристик неограниченной области. Такая задача рассматривалась многими авторами: Мукминовым Ф.Х. (1980 г.), Кожевниковой Л.М. (2000 г.), Гилимшиной В.Ф. (2008 г.).

В дипломной работе предлагается для получения оценки сверху использовать следующие понятия λ-последовательности.

Неограниченная возрастающая последовательность положительных чисел {yj }∞

называется λ-последовательностью задачи (1)- (4), если существует число θ > 1

такое, что справедливо неравенство:

где λj+1 = λ(yj, yj+1) и

1 ≤ θλj+1(yj+1 − yj )2, j = 0, ∞, (5)

∫

λ(r1, r2) = inf{ r

r1

∫

|∇g|2dx, g ∈ C∞(Ω),

r1

g2dx = 1}, r1 < r2. (6)

Необходимое и достаточное условие существования λ-последовательности сфор- мулируем ниже в утверждении 3. Множество всех λ-последовательностей обозна- чим через Λ.

Не ограничивая общность, в дальнейшем будем предполагать, что R0 = y0.

Будем считать также, что область удовлетворяет следующему условию:

λ0 = λ(−∞, y0) > 0. (7)

Определим невозрастающую функцию дискретного аргумента:

λ(N ) = min{λ0, λ1, ., λN

}, N ∈ N.

0 N −1

Тогда, очевидно, справедливо неравенство:

∫

λ(N )

x N

∫

g2dx

x N

|∇g|2dx, ∀g ∈ C∞(Ω), N ∈ N. (8)

Положим также

N

N (t) = max{N ∈ N/λ(N ) < t}. (9)

При t ∈ [0, 1

] положим N (t) ≡ 0. Очевидно, функция N (t) является кусочно-

постоянной неубывающей функцией при t ≥ 0. Сформулируем основной результат настоящей работы.

Теорема 1. Пусть для задачи (1)- (4)существует λ-последоватеность. Тогда найдутся положительные постоянные M, κ, зависящие k, θ, γ, Γ и постоянная T, зависящая от λ0, κ, θ, R0, x1, x2, что для решения U (t, x) при t ≥ T справедливо неравенство:

∥U (t)∥ ≤ inf M exp(−κN (t))∥φ∥. (10) Определим область типа слоя:

Ω[f ] = {(x1, x2, x′′) ∈ R/|x2| < f (x1)}. (11)

Определим функцию d(x) как расстояние от точки x оси абсцисс до графика функции y = f (x). Неограниченная возрастающая последовательность положи-

тельных чисел {yj }∞

называется B-последовательностью, если выполнены ра-

венства:

yj + yj+1

d(

2

) = yj+1 − yj, j = 0, ∞. (12)

Отметим, что B-последовательность можно построить всегда, начиная с произ- вольной точки y0 > 0.

Теорема 2. Если B-последовательность является λ-последовательностъю, то оценка (10) для неотрицательного решения задачи (1)-(4) с неотрицательной фи- нитной начальной, функцией φ(x) ̸= 0 является точной для любой области Ω такой, что Ω(f ) ⊂ Ω ⊂ Ω[f ].

Для областей типа слоя (11) получены конкретные следствия оценки (10).В частности, для функции f (r) = rα, α ∈ (0, 1) установлено неравенство: