Условие задачи
Требуется найти оптимальную цену единицы товара по результатам наблюдений. В каждом варианте задано по 10 пар данных, на основе которых, используя линейную модель, требуется методом наименьших квадратов определить оценки параметров модели α и β. Затем определить выручку как функцию F(P)для каждой пары наблюдений. Далее, необходимо найти значение Р, при котором доход будет максимальным. Для этого берем производную по Р от функции F(P)и приравниваем ее к 0. Из полученного выражения определяем оптимальное значение цены Р.
Даны: стоимость единицы товара Р и количество (шт.) проданного товараK для 10 наблюдений (табл. 1).
Используя линейную модель: K_i=α+βP_i+ε_iнайти оптимальнуюцену (при которой получается максимальная выручка от продаж).
_
Таблица 1
Вар. 7
№ набл. P К
1 6,5 20
2 7 18
3 7,5 17
4 7,7 16
5 8,5 14
6 9,5 11
7 10,5 9
8 12 4
9 12,5 3
10 13 2
Решение:
Уравнение должно выражать усредненную зависимость выходной величины (y = K) при изменении входных величин (факторов x = P).
K_i=α+βP_i+ε_i
Суть метода наименьших квадратов заключается в том, чтобы найти такие значения x, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений (ошибок) ε_i=y_i-(α+βx_i).
F(α,β)=∑_i▒〖ε_i〗^2 =∑_i▒(y_i-(α+βx_i))^2 ⟶min
Находим частные производные по переменным α и β и приравниваем их к нулю:
{■(〖F'〗_α=-2∑_i▒(y_i-(α+βx_i ) ) =0@〖F'〗_β=-2∑_i▒〖x_i (y_i-(α+βx_i ) ) 〗=0)┤
Сократим на (2) и запишем систему относительно неизвестных коэффициентов α и β.
{■(α∙n+β∑_i▒x_i =∑_i▒y_i @α∑_i▒x_i +β∑_i▒〖x_i〗^2 =∑_i▒〖y_i x_i 〗)┤
Коэффициенты можно найти следующим образом:
,
Здесь суммирование осуществляется по всем индексам i=(1,n) ̅ (n=10).
Курсовая работа:
Предварительные классификационные решения по ТН ВЭД ТС
Контрольная работа:
Задачи по статистике
Контрольная работа:
6 задач по УПП
Дипломная работа:
Совершенствование принятия управленческих решений по развитию ассортимента на примере торгового предприятия
Дипломная работа:
Пути укрепления финансового состояния организации на примере Аптеки Фармакон
