Методика исследования параболического уравнения второго порядка - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

1. Вспомогательные утверждения 6

2. Доказательство теоремы 1 14

3. Оценки характеристик N(r) и p∗ 20

Список литературы 22

Введение (выдержка)

Пусть Ω - произвольная неограниченная область пространства Rn, n > 2, x =

(x1, x2, ., xn) ∈ Rn. В цилиндрической области D = {t > 0} × Ω рассмотрим

линейное параболическое уравнение второго порядка:

Ut =

Σn

i;j=1

(aij(t, x)Uxi)xj . (1)

Коэффициенты уравнения aij(t, x) - измеримые функции, удовлетворяющие

условию равномерной эллиптичности: существуют положительные постоянные γ, Γ

такие, что для любого вектора y = (y1, ., y2) ∈ Rn и почти для всех (t, x) ∈ D

справедливы неравенства:

γ|y|2 ≤

Σn

i;j=1

aij(t, x)yiyj ≤ Γ|y|2. (2)

Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения (14) с начально-краевыми

условиями:

U(t, x) |{t>0}×@Ω= 0; (3)

U(0, x) = φ(x). (4)

Дипломная работа посвящена изучению зависимости скорости убывания L2-

нормы решения задачи (1)- (4) от геометрических характеристик неограниченной

области. Такая задача рассматривалась многими авторами: Мукминовым Ф.Х.

(1980 г.), Кожевниковой Л.М. (2000 г.), Гилимшиной В.Ф. (2008 г.).

В дипломной работе предлагается для получения оценки сверху использовать

следующие понятия λ-последовательности.

Неограниченная возрастающая последовательность положительных чисел {yj}∞j=0

называется λ-последовательностью задачи (1)- (4), если существует число θ > 1

такое, что справедливо неравенство:

Основная часть (выдержка)

1. Вспомогательные утверждения

Введем обозначение:Db

a = (a, b) × Ω. Гильбертово пространство ˜W 1;1

2 (DT ) опре-

делим как пополнение множества всех гладких в DT функций с ограниченным

носителем, равных нулю в окрестности боковой по верхности ∂Ω × (0, T), по нор-

ме

∥u∥2

˜W

1;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT + ∥ut∥2

DT ,

гильбертово пространство ˜W 0;1

2 (DT ) как пополнение того же множества функций

по норме

∥u∥2

˜W

0;1

2 (DT ) = ∥u∥2

DT + ∥∇u∥2

DT .

Определение. Обобщенным решением задачи (1), (3), (4) в DT будем называть

функцию

u(t, x) ∈ ˜W 0;1

2 (DT ),

удовлетворяющую интегральному тождеству

∫

(−uvt +

Σn

i;j=1

aij(t, x)uxivxj )dxdt =

∫

φ(x)v(0, x)dx (14)

для любой функции v(t, x) ∈ ˜W 1;1

2 (DT ) такой, что v(T, x) = 0.

Функция u(t, ) - решение задачи (1), (3), (4) в D, если при всех T > 0 она

является решением задачи (1), (3), (4) в DT .

Решение задачи (1), (3), (4) существует и единственно. Существование доказы-

вается методом Галеркина [1, с.181-186].

Установим неравенство Фридрихса.

Рассмотрим функцию f ∈ C1[0, 1] такую, что f(0) = 0.

f(x) = f(x) − f(0) =

∫x

f′(t)dt по формуле Ньютона-Лейбница.

Заключение (выдержка)

Рассмотрим область

Ω[f] = {(x1, x2, x′′) ∈ Rn/x1 > 0, |x2| < f(x1)}. (38)

Последовательность {yi} назовем Π-последовательностью, если существует такое

число ν, что:

ν(yi+1 − yi) = min{f(x), x ∈ [yi, yi+1]}. (39)

Утверждение 3. Π -последовательность является λ-последовательностью.

Доказательство. По неравенству (1.10):

(3 + 4ν)(yi+1 − yi)2λi+1

i .

Это и есть определение λ-последовательности.

Очевидно, что Π-последовательность с равенством (3.2) можно построить все-

гда, начиная с любой точки y0 при любом ν ≥ 1.

Возьмем ν ≥ 1.

yi+1 ∫

f(x) ≤

yi+1 − yi

min f(x)

Складывая, получаем

yN ∫

f(x) ≤

. (40)

Пусть ρm(y)-радиус наибольшего полукруга, помещенного под графиком функ-

ции y = f(x), x ≤ y. С

Литература

[1] Ладыженская О.А.,Солонников В.А.,Уральцева Н.Н. Линейные и квазили-

нейные уранения парболического типа. М.:Наука, 1967.

[2] Кожевникова Л.М. Стабилизация решений первой смешанной задачи для

параболических уравнений и систем с младшими членами//Кандидатская дисс. –

2000. - 123с.

[3] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.:

Наука, 1983. - 424 с.

[4] Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений первой смешанной задачи для па-

раболического уравнения второго порядка//Матем. сб. - 1980. - Т.111(153). - №4.

- С.503-521.

[5] Кульсарина Н.А., Гилимшина В.Ф. Точная оценка скорости убывания реше-

ния параболического уравнения второго порядка при t → ∞ // Известия высших

учебных заведений. Математика. №4, 2007. C. 35–44.

[6] Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations Amer.J. Math.

1958. V.80. P.931-953.

Примечания

Форматы: *.pdf, *.tex

К работе прилагается презентация