Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «геометрия» для студентов направления «прикладная математика и физика» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава 1. Комплексные числа в тригонометрической и показательной форме. 5

Глава 2. Алгебраические системы 12

Глава 3. Линейные отображения. 20

Глава 4. Группы аффинных преобразований и их подгруппы 28

Глава 5. Плоскости и прямые в пространстве. 47

Глава 6. Поверхности второго порядка. 65

Заключение 74

Список литературы 75

Введение (выдержка)

Данное методическое обеспечение лекционного курса «Геометрия» написано в соответствии с действующей программой по геометрии для студентов физико-математического факультета Башкирского государственного педагогического университета им. М. Акмуллы и охватывает материал геометрии второго семестра для студентов первого курса направления «Прикладная математика и физика».

Цель преподавания курса геометрии в педагогическом университете для студентов направления "Прикладная математика и физика" состоит в том, чтобы сформировать в сознании будущего специалиста представление об основных понятиях и методах геометрии на высоком теоретическом и практическом уровне в соответствии с современной математической наукой.

Изложение курса согласовано с программой математического анализа.

В курсе геометрии уделено большое внимание профессиональной направленности, в частности, решению задач по основным разделам геометрии.

В связи с этим изложение теоретического материала сопровождается примерами, дается приложение изучаемых методов к доказательству теорем и решению задач по геометрии.

Первая глава посвящена комплексным числам. Здесь рассматриваются тригонометрическая форма комплексного числа, операции над комплексными числами в тригонометрической форме, показательная форма комплексного числа.

Во второй главе рассматриваются алгебраические операции, алгебраические системы, группы, кольца, поля.

В главе третьей рассматриваются следующие вопросы: преобразование плоскости, отображение, композиция отображений, линейные отображения, образ вектора при линейном отображении, аффинные преобразования плоскости.

Четвертая глава посвящена видам движений: параллельному переносу, повороту, осевой симметрии, скользящей симметрии, рассматривается классификация движений и их групповые свойства, подобия, групповые свойства подобия.

В пятой главе рассматриваются различные уравнения плоскости в пространстве, расстояние от точки до плоскости, взаимное расположение двух плоскостей, угол между двумя плоскостями, уравнения прямых в пространстве, взаимное расположение двух прямых в пространстве, угол между двумя прямыми, прямой и плоскостью, расстояние от точки до прямой, между двумя скрещивающимися прямыми, взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Основная часть (выдержка)

Глава 1. Комплексные числа в тригонометрической и показательной форме

Тригонометрическая форма комплексного числа

- запись комплексного числа в алгебраической форме

Каждая точка на плоскости определяется двумя координатами . Поэтому можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством комплексных чисел и множеством точек на плоскости. Кроме того, можно рассмотреть полярную систему координат. Выбирается точка О - полюс, полярная ось Ох. Если имеется некоторая точка М на плоскости, где выбрана полярная система координат, то можно определить длину радиуса-вектора . Положение точки M будет определяться полярными координатами , где , - ориентированный угол между положительным направлением Ох и радиусом-вектором ОМ.

Присоединим полярную систему координат к прямоугольной декартовой так, чтобы полярная ось совпала с осью Ох, начало координат - с полюсом О. Тогда одна и та же точка М будет определяться декартовыми координатами (x,y) и полярными координатами r и . Установим связь между этими координатами

(1)

То есть, другими словами, если известны полярные координаты точки и , то по формуле (1) декартовы координаты определяются однозначно. Если же известны декартовы координаты (x,y), то можно найти полярные координаты.

(2)

Зная значения и , определим угол .

Пример.

Пусть на плоскости имеется точка .

Ей соответствует комплексное число

Пусть дано комплексное число в алгебраической форме

(3)

- тригонометрическая форма комплексного числа.

Часто операции умножения, деления, возведение в степень и извлечение из корня удобнее проводить в тригонометрической форме.

Операции над комплексными числами

в тригонометрической форме

1) умножение

Пусть даны два комплексных числа и

Найдем произведение этих чисел

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы складываются.

Если рассмотреть , то получим следующее:

Возведение в n-ую степень

Пример.

Найти

2) Деление комплексных чисел

При делении комплексных чисел в тригонометрической форме аргументы вычитаются, а модули делятся.

Пример.

-i ↔ M(0;-1)

3) Извлечение корня.

При извлечении n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме и получаем комплексное число в тригонометрической форме.

Возведем обе части в n-ую степень:

Два комплексных числа равны, когда равны их модули и аргументы, т.е.

Заключение (выдержка)

Данное методическое обеспечение по курсу "Геометрия" изучается студентами первого курса специальности "Прикладная математика и физика" в течение одного семестра. Данный курс является основополагающим для дальнейшего изучения специальных дисциплин. Даются основные определения и теоремы, без которых невозможно понимание курса, такие как преобразования плоскости, виды преобразований, плоскость в пространстве, различные уравнения плоскости, различные уравнения прямой в пространстве, различные метрические задачи и т.д.

Литература

1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. Высшая школа.- М., 1979г.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия ч.I, М.: КноРус, 2011.

3. Атанасян С.Л. Сборник задач по геометрии ч. I, М,: ЭКСМО, 2007.

4. Атанасян С.Л., Шевелёва Н.В., Покровский В.Г. Сборник задач по геометрии, ч.II, Москва, ЭКСМО, 2008г.

5. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – Лань, 2008.