Методика изучения аналитических функций над алгебрами размерности n≤3 - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Глава 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБР 4

1.1. Некоторые сведения из теории алгебр 4

1.2. Свойства простых алгебр R(i),R(e),R(ε) 9

Глава 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 17

2.1. Аналитические функции над алгеброй дуальных чисел. 17

2.2. Аналитические функции над алгеброй комплексных чисел. 20

2.3. Аналитические функции над алгеброй двойных чисел 24

2.4. Аналитические функции нал алгеброй плюральных чисел третьего порядка 27

Заключение 31

Литература 32

Введение (выдержка)

Данная работа посвящена изучению аналитических функций над конкретными алгебрами. Были найдены условия аналитичности функции над упомянутыми алгебрами, которые являются аналогами известного условия Коши-Римана.

Цель работы – нахождение условий аналитичности функции над алгебрами.

Находятся аналитические функции над алгебрами дуальных чисел, комплексных чисел, двойных чисел, плюральных чисел третьего порядка.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения.

В первой главе приводятся необходимые сведения из общей теории алгебр. Где даются основные определения, формулировки и доказательства важнейших теорем и основные формулы.

Во второй главе рассматриваются аналитические функции над алгебрами, в результате которых выводится вид аналитических функций над алгебрами.

Основная часть (выдержка)

Глава 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ АЛГЕБР

1.1. Некоторые сведения из теории алгебр

Векторное пространство Вт над полем действительных чисел R называется алгеброй Aт, если в Вт установлена операция умножения, приводящая в соответствие каждой паре элементов α,β из Ат элемент γ ∈ Ат (обозначение α • β = γ) и удовлетворяющая следующим условиям:

1. (α+β)γ = α•γ+ β • γ,

2. a(α • β)= (a • а)β = α (a • β),

3. а(β + γ) = а • β + а • γ,

4. α(a • β) = а (α • β),

для любых α,β,γ∈Ат; a,b∈R.

Само векторное пространство Вт, в котором задана такая операция, называется носителем, а его размерность - рангом или порядком алгебры Ат то есть Ат - алгебра, т — размерность.

Ранг алгебры Ат всюду в дальнейшем подразумевается конечным.

Если {l1, l2,…,lm} - какой-нибудь базис, то закон умножения в алгебре А определяется из условий: li • lj = • lk , где i,j - элементы переменные по k.

∈ R - система величин, которую называют структурными константами алгебры.

Чтобы задать алгебру достаточно задать ее структурные константы или таблицу умножения базисных элементов.

Алгебра называется ассоциативной, если для любых α,β,γ ∈ А выполняется требование

(α • β)γ=α(β • γ)

равносильные следующим условиям, наложенным на структурные константы:

Алгебра Am называется коммутативной, если для любых a,b ∈ Аm выполняется требование: a • b = b • а. Её признаком является симметрия структурных констант по нижним индексам: =

Если существует такой элемент l ∈ A, называемый главной единицей алгебры, что l • α=α • l=α для ∀ α ∈ А, то алгебра называется унитальной.

Если подмножество Ak Ат замкнуто относительно операции умножения в Ат, то оно является подалгеброй

В том случае, когда для любых α ∈ Ат, β ∈ Ак имеем α • β ∈ АК (β • α ∈ Ак), то подалгебра Ak называется левым (правым) идеалом алгебры Ат. При одновременном выполнении обеих условий имеем двусторонний идеал.

Для коммутативных алгебр все три понятия идеала совпадают.

Очевидно, что сама алгебра Ат образует двусторонний идеал. Кроме того, в ней всегда существует идеал, образованный нулевым элементом.

Впредь всюду в настоящей работе мы будем оставаться в классе ассоциативных, коммутативных, унитальных алгебр.

Заключение (выдержка)

На основе проделанной работы можно сделать следующий вывод.

Для каждой алгебры проверяется выполнение условии хьельмелевой алгебры, далее вычисляются их структурные константы, в результате которых выводится вид аналитических функции над алгебрами.

Аналитические функции над алгеброй дуальных чисел запишутся:

Аналитические функции над алгеброй комплексных чисел запишутся:

Аналитические функции над алгеброй двойных чисел запишутся:

Аналитические функции над алгеброй плюральных чисел запишутся:

Литература

1. Калужин Л.А. «Введение в алгебру». М., «Наука», 1973г.

2. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры: Учебник для вузов.- М.: Физматлит, 1994. 320 с.

3. Б.Л. ванн дер Варден «Алгебра». Изд. Лань., 2004, 649 с.

4. Курош А. Г. Лекции по общей алгебре: Уч. пособие. 1-е изд., СПб., 2005.560 с.

5. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: Учебник. 14-е изд., СПб., 2005. 432 с.

6. Ягудина Л.М. Дипломная работа по теме «Хьельмелевовые алгебры».БГПИ,Уфа,1983г.

7. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Уч. пособие. 4-е изд., СПб., 2005. 416 с.