Введение….….3
Глава 1 . Аффинные преобразования плоскости …. 4
Определение и формулы аффинного преобразования плоскости….….…4
Свойства аффинных преобразований плоскости….…5
Группа аффинных преобразований и ее подгруппы…10
Глава 2 . Приложение аффинных преобразований плоскости к решению задач….14
Задачи на аффинные преобразования плоскости….14
Заключение….…20
Литература….21
Актуальность темы данной дипломной работы заключается в
углублении знаний по теме аффинные преобразования плоскости, которое позволяет с большей легкостью решать задачи на преобразования и их свойства.
Изучаются понятия аффинных преобразований плоскости, их свойств, особенностей и применения на практике.
Целью данной работы является рассмотрение и изучение аффинных преобразований плоскости.
Задачами дипломной работы в связи с указанной целью являются:
1)Изучение теоретического материала;
2)Исследование свойств различных видов аффинных преобразований (в том числе и групповых);
3) Решение задач.
При раскрытии темы применяются методы исследования: теоретический и практический.
Структура работы обусловлена предметом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, основной теоретической части и заключения.
Введение раскрывает актуальность, объект, предмет, цель, задачи и методы исследования, раскрывает теоретическую и практическую значимость работы.
В теоретической части рассматриваются теория аффинного преобразования, изучаются свойства (групповые свойства). В практической части представлены задачи на аффинные преобразования и их свойства.
Глава 1 . Аффинные преобразования плоскости
Определение. Аффинным преобразованием плоскости называется преобразование плоскости, при котором точка по закону:
где
т.е. это – линейное и невырожденное преобразование плоскости.
Свойства аффинных преобразований плоскости.
Свойство 1.
При аффинном преобразовании плоскости прямая переходит в прямую и параллельные прямые переходят в параллельные прямые.
Доказательство.
Рассмотрим прямую l, определяемую уравнением Ax + By + C = 0 (2).
Т.к. аффинное преобразование – невырожденное, то существует обратное преобразование
т.е. . Подставляя в уравнение (2) вместо x, y выражения из (3),
получим:
где ,
,
.
Итак, мы доказали что при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую( ).
Докажем вторую часть теоремы. Пусть и - параллельные прямые, а и - их образы. Т.е. и .
Пусть прямые и имеют общую точку . Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, - образ только одной точки M, причем М должна принадлежать и и , что невозможно, поскольку и параллельны. Следовательно, и не имеют общих точек, т. е. параллельны.
Свойство 2.
При аффинном преобразовании репер (т.е. аффинный репер переходит в аффинный репер) и точка (точка с координатами в репере переходит в точку с такими же координатами в репере ).
Доказательство:
Сначала докажем первую часть: т.к. , это означает, что , ,
При аффинном преобразовании .
Возьмем вектор . При аффинном преобразовании точки .
{ },
.
Подставляя в формулу
f:
вместо значения и находим:
отсюда следует:
Аналогично подставляем вместо значения :
Тогда путем вычитания из соотношений (*) получаем:
Получили:
Координаты вектора преобразуются линейно и однородно:
При аффинном преобразовании .
векторы линейно не зависимы.
Пусть точка имеет координаты относительно репера , тогда , тогда относительно репера и вектор и точка
Целью данной работы было рассмотрение и изучение аффинных преобразований плоскости, и их применение при решении задач.
Для достижения указанной цели перед работой были поставлены ряд задач. При решении задач был исследован теоретический материал по аффинным преобразованиям плоскости и свойства различных видов аффинных преобразований (в том числе и групповых).
Первая глава состоит из 3 параграфов. В основной части первой главы изучаются определение и формулы аффинного преобразования плоскости, если не оговорено иное. На основании определения и формул, отражаются свойства аффинных преобразований плоскости, их доказательства.
Вторая глава полностью посвящена задачам на аффинные преобразования и их свойства.
При написании данной работы во многом использовался учебник Л. С. Атанасяна «Геометрия». В ней дается систематическое и углубленное изложение теории аффинных преобразований плоскости, рассматриваются многочисленные примеры, иллюстрирующие применение теоретических положений. Анализируются задачи на вычисление и доказательство, рационально решаемые с помощью метода геометрических преобразований, также предлагаются задачи для самостоятельного решения.
Также большую помощь при написании данной работы оказала книга Понарина Я.П. «Аффинная и проективная геометрия». Здесь содержится теоретический и практический материал по теме аффинных преобразований, рассмотрены свойства, группы и подгруппы аффинных преобразований плоскости. Изложение сопровождается образцами решения задач.
В итоге цель работы была достигнута, и поставленные задачи были решены в полном объеме.
1. Атанасян Л.С. Геометрия: в 2 ч. – Ч.1:учебное пособие/Л.С. Атанасян, В.Т. Базылев. – 2-е изд., стер. – М.: КНОРУС, 2011. – 400 с.
2. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов – М.: Наука, 1968. – 567 с.
3. Ефимов Н. В. Краткий курс аналитической геометрии. Учебное пособие/ Н. В. Ефимов – М.: физматлит., 2005. – 326 с.
4. Погорелов А.В. Аналитическая геометрия/ А.В. Погорелов – М.: Наука, 1968. – 567 с.
5. Базылев В. Т. Геометрия. Учебное пособие для студентов I курса/В. Т. Базылев–М.: Просвещение, 1974. – 353 с.
6. Певзнер С.Л., Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1980.– 128 с.
7. Понарин Я.П. Аффинная и проективная геометрия. М.:МЦНМО, 2009. – 288 с.
8. Атанасян Л.С., Базылев. В.Т. Сборник задач по геометрии. М.: Просвещение, 1973. – 336 с.
Дипломная работа:
Применение аффинных преобразований для решения задач на плоскости и в пространстве
Дипломная работа:
Приложения проективной геометрии к решении школьных задач
Курсовая работа:
Решение задачи «Планирование ассортимента блюд на предприятии об-щественного питания» в программной среде MS Excel
Дипломная работа:
Приложения координатно-векторного метода к решению школьных задач
Дипломная работа:
Проективная геометрия при фoрмирoвaнии нaвыкa решения школьных зaдaч нa дoкaзaтельствo и пoстрoение
