Дискретная математика - Реферат

Содержание

Введение 3

Треугольник Паскаля 4

Заключение 9

Список литературы 10

Введение (выдержка)

Пожалуй, одной из наиболее известных и изящных численных схем во всей математике является треугольник Паскаля. Блез Паскаль (1623-1662), французский математик и философ, посвятил ей специальный «Трактат об арифметическом треугольнике». Треугольником Паскаля называют числовую таблицу, с помощью которой можно решать ряд вычислительных задач.

Впрочем, эта треугольная таблица была известна задолго до 1665 года - даты выхода в свет трактата. Так, в 1529 году треугольник Паскаля был воспроизведен на титульном листе учебника арифметики, написанного Петром Апианом, астрономом из Ингольштадтского университета. Изображен треугольник и на иллюстрации книги «Яшмовое зеркало четырех элементов» китайского математика Чжу Шицзе, выпущенной в 1303 году. Омар Хайям, бывший не только философом и поэтом, но и математиком, знал о существовании треугольника в 1110 году, в свою очередь заимствовав его из более ранних китайских или индийских источников.

Треугольник Паскаля имеет применение в теории вероятностей и обладает удивительными и занимательными свойствами.

Треугольник Паскаля интересен математикам и сейчас, на его основе строятся другие треугольники, существует и перевод треугольника из плоскости в пространство – пирамида Паскаля, что подчеркивает актуальность темы.

Целью данной работы является знакомство с треугольником Паскаля и его свойствами. Для этого решим такие задачи: покажем, как определяются элементы треугольника, рассмотрим его свойства и связи с другими математическими объектами.

Реферат состоит из введения, основной части, где и рассматривается треугольник Паск

Основная часть (выдержка)

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля - это бесконечная числовая таблица «треугольной формы» (рис. 1), в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Таблица обладает симметрией относительно оси, проходящей через его вершину.

Рис. 1. Треугольник Паскаля

Член треугольника Паскаля, стоящий в n-й строке на k-м месте слева, считая от нулевого, обозначается обычно Сnk (например, С25 = 10). По определению треугольника Паскаля

Треугольник Паскаля можно, таким образом, записать в виде

Из свойства симметрии следует, что Сnk= Сn-kn .

Нахождение элемента треугольника

Каждое число в треугольнике Паскаля можно определить тремя способами :

• Оно равно Cnk, где n - номер строки, k- номер элемента в строке.

• Оно равно сумме чисел предыдущей диагонали, начиная со стороны треугольника и кончая числом, стоящим над данным.

• Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит данное число, причем сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются.

Свойства строк

Сумма чисел n-й строки Паскаля равна 2n (потому что при переходе от каждой строки к следующей сумм

Заключение (выдержка)

Итак, мы познакомились с треугольником Паскаля и его свойствами. Были рассмотрены основные свойства и взаимосвязи треугольника Паскаля с другими областями математики. Эти числовые таблицы были созданы очень давно и хорошо изучены, нашли свое применение, весьма разнообразное. При этом на основе треугольника Паскаля и сейчас появляются новые разработки, например, «знаковый» треугольник, что доказывает актуальность треугольника Паскаля и по сей день.

Литература

1. Дынкин Е. Б., Успенский В. А. Математические беседы. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.

2. Кузьмин О. В. Треугольник и пирамида Паскаля: свойства и обобщения. // Соросовский образовательный журнал, т.6, №5. – 2000.

3. Руденко Б. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. // Наука и жизнь, 2008, №4.

4. Скляревский Е. С. Удивительный треугольник великого француза. // Hard’n’soft, 2003 №10.

5. Успенский В. А. Треугольник Паскаля. - М., Наука. – 1979.

Примечания

Работа была сдана на "отлично"