Теория вероятности - Контрольная работа

Содержание

1. Подброшены две игральные кости. Событие А сумма выпавших очков равна 9, событие В разность выпавших очков равна 1. Зависимы ли события А и В? Объяснить почему (подтвердить вычислениями).

2. Магазин получает товар партиями по 100 штук. Если пять взятых наудачу образцов соответствует стандартам, партия товара поступает на реализацию. В очередной партии восемь единиц товара с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?

3. Вероятность, что покупателю потребуется обувь 42 размера, равна 0,3. В магазине 3 покупателя. Случайная величина Х – число покупателей, находящихся в магазине, которым требуется обувь 42 размера.

1) Составить таблицу распределения Х.

2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).

3) Построить график функции распределения y = F(x)

4) Найти вероятность P(0,5

4. Автоматический токарный станок настроен на выпуск деталей со средним диаметром 2.00 см и со средним квадратическим отклонением 0.005 см. Действует нормальный закон распределения. Компания технического сервиса рекомендует остановить станок для технического обслуживания и корректировки в случае, если образцы деталей, которые он производит, имеют средний диаметр более 2.01 см, либо менее 1.99 см.

1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.

2) Если станок начнет производить детали, которые в среднем имеют слишком большой диаметр, а именно, 2.02 см, какова вероятность того, что станок будет продолжать работать?

Введение (выдержка)

Событие А наступает в двух вариантах : 6 и 3 очка на костях и 5 и 4 очка на костях.

Если имеет место событие А, то вероятность того, что при этом имеет место событие В = 0,5.

Вероятность наступления события А = 4/36 = 1/9.

Вероятность наступления события В = 10/36 = 5/18.

Вероятность наступления события В при наступлении события А = 1/9 * 0,5 = 1/18

Соответственно, событие В зависит от события А

5 5 и 4 4 и 4 3 и 2 2 и 1.

Только в 1 случае из 5 в случае наступления события В имеет место событие А.

Вероятность наступления события А = 4/36 = 1/9.

Вероятность наступления события А при наступлении события В = 5/18 * 1/5 = 1/18

Соответственно, событие А также зависит от события В

Основная часть (выдержка)

> > Магазин получает товар партиями по 100 штук.Если взять 5 взятых наудачу образцов соотвеств. стандартам, партия поступает на реализацию. В очередной партии 8 штук с дефектом. Какова вероятность того, что товар поступит на реализацию?

> Задача простая. В "очередной" партии, с 8-ю "дефектными" из 100, случайно не оказажется "дефектных", среди 5 взятых, с вероятностью Р(0 меч)= (92*91*90*89*88)/(100*99*98*97*96)=0,65.

> Можно приблизительно: Р(0)=(92/100)^5=0,66

Пусть событие А - партия товара поступила на реализацию.

Рассмотрим событие В - противоположное А, т. е. партия товара не поступила на реализацию. Т. к. события образуют полную группу, то

Р (А) = 1 - Р (В)

Т. о. нужно найти вероятность того, что партия товара будет забракована.

Это возможно, если из 5 рассматриваемых образцов хотя бы один будет бракованным, т. е. от 1 до 5 бракованных деталей.

Схемам испытаний соответствует схеме Бернулли, но поскольку количество образцов 100, то количество перестановок велико, поэтому воспользуемся предельно интегральной теоремой Лапласа.

Тогда

Р (В) = Ф (х2) - Ф (х1)

где Ф - интегральная функция Лапласа (ьабличная функция) .

х1 = (к1 - п•р) / корень (п•р•(1-р) )

х2 = (к2 - п•р) / корень (п•р•(1-р) )

где п - число образцов, п=100

к2 - левая граница интервала, к2=1

к1 - правая граница, к1=5

р - вероятность достать бракованную деталь, т. к. всего юракованных 8 из 100, то р = 8/100 = 0,08

тогда:

х2 = (1 - 100•0,08) / корень (100•0,08•(1-0,08)) = -2,58

х1 = (5 - 100•0,08) / корень (100•0,08•(1-0,08)) = -1,06

Р (В) = -0,3554 - (-0,4951) = 0,1397

Р (А) = 1 - 0,1397 = 0,8203

ОТвет: товар поступит на реализацию с вероятностью 0,8203.

Заключение (выдержка)

1) Найти вероятность остановки станка, если он настроен по инструкции на 2.00 см.

Литература

1. Гмурман В.Е. «Теория вероятностей и математическая статистика.» Москва В.Ш. 2003г.

2. Колемаев В.А. «Теория вероятностей и математическая статистика.» ИНФРА-М,1999г.

3. Горелова Г.В. «Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением Excel.» Ростов-на-Дону : Феникс, 2002.

4. Кремер М.Ш. «Теория вероятностей и математическая статистика.» ЮНИТИ – ДАНА 2001г.

5. Андронов А.И. «Теория вероятностей и математическая статистика.» СПб., Питер 2004г.

6. Митропольский А.К. «Элементы математической статистики» СПб. Питер 2004г.