1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.
2. Решить уравнение .
3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
4. Решить систему неравенств:
5. Делится ли на 61?
6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?
7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.
Задания школьной олимпиады по математике
1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.
2. Решить уравнение .
3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
4. Решить систему неравенств:
5. Делится ли на 61?
6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?
7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.
Решения
1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.
Решение. – целое число, если – целое, т.е. .
При , значит не выполняется.
При , значит не выполняется.
При , значит не выполняется.
При , значит выполняется.
5. Делится ли на 61?
Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим
3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.
Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В ADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ABD ~ ABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).
Из подобия имеем: ,
или .
Для нахождения х и у получим систему уравнений:
Вычитая из первого уравнения второе, получим откуда , тогда значит АВ = 4см, ВС = 6см.
II способ. Указание: применить теорему синусов.
Ответ. AB = см, ВС = см.
Вебинар:
Методическое сопровождение личностно-ориентированного обучения в организации внеурочной деятельности школьников по математике
Вебинар:
Управление подготовкой к олимпиадам в условиях центра «академия математики»
Вебинар:
Разработка электронного курса для организации самостоятельной работы по математике
Вебинар:
Управление учебной деятельностью обучаящихся по овладению методами решения геометрических задач
